由双周期投射复形与导出范畴产生的李代数

设 $A$ 为有限全局维数的有限维 $\mathbb{C}$-代数,$\mathcal{A}$ 为有限生成右 $A$-模范畴。利用双周期投射复形范畴 $\mathcal{C}_2(\mathcal{P})$,我们为 $\mathcal{A}$ 构造了动机化Bridgeland Hall代数,其结构常数由 $t$ 的Poincar\'{e}多项式给出,进而在 $t=-1$ 处构造了一个 $\mathbb{C}$-李子代数 $\mathfrak{g}=\mathfrak{n}\oplus \mathfrak{h}$,其中 $\mathfrak{n}$ 由关于不可分解根复形的栈函数构造,$\mathfrak{h}$ 由可缩复形构造。对于 $\mathcal{C}_2(\mathcal{P})$ 的稳定范畴 $\mathcal{K}_2(\mathcal{P})$,我们构造了其模空间以及一个 $\mathbb{C}$-李代数 $\tilde{\mathfrak{g}}=\tilde{\mathfrak{n}}\oplus \tilde{\mathfrak{h}}$,其中 $\tilde{\mathfrak{n}}$ 由支撑不可分解的可构造函数构造,$\tilde{\mathfrak{h}}$ 由 $\mathcal{K}_2(\mathcal{P})$ 的Grothendieck群构造。我们证明自然函子 $\mathcal{C}_2(\mathcal{P})\rightarrow \mathcal{K}_2(\mathcal{P})$ 连同 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{K}_2(\mathcal{P})$ 的Grothendieck群之间的自然同构诱导了李代数同构 $\mathfrak{g}\cong\tilde{\mathfrak{g}}$。这清楚地表明,[5]中Bridgeland就 $\mathcal{C}_2(\mathcal{P})$ 的精确结构给出的 $t=-1$ 处结构常数,恰好等于[30]中就 $\mathcal{K}_2(\mathcal{P})$ 的三角范畴结构所给出的结构常数。