扩展范畴代数与 LHS 谱序列

设 $\mathcal{C}$ 为小范畴，$\mathfrak{A}$ 为 $\mathcal{C}$ 上无单位 $k$-代数预纤性层，$\mathfrak{M}$ 为 $\mathfrak{A}$-双模。我们引入两种新概念，即 $\mathfrak{A}$ 与 $\mathfrak{M}$ 的 Grothendieck 构造 $Gr_{\mathcal{C}}(\mathfrak{A}, \mathfrak{M})$，以及扩展范畴代数 $\mathfrak{A} \ltimes \mathfrak{M}$。扩展范畴代数包含平凡扩展代数和 skew 范畴代数作为特殊情况。若 $\mathcal{C}$ 为有限对象，我们证明 $Gr_{\mathcal{C}}(\mathfrak{A}, \mathfrak{M})$ 的模范畴与 $\mathfrak{A} \ltimes \mathfrak{M}$ 的模范畴等价。最后，我们得到关于 $Gr_{\mathcal{C}}(\mathfrak{A}, \mathfrak{N})$ 的两个 LHS 谱序列，其中 $\mathfrak{N}$ 为 $\mathfrak{A}$-右模。