类型为 $\mathrm{F}_{4}$ 域上水平为 1 的自同型表示

在同构意义下，存在唯一一个在 $\mathbb{Q}$ 上具有 Lie 型 $\mathrm{F}_{4}$ 的连通半代数群，其实数点紧凑且在所有素数 $p$ 的 $\mathbb{Q}_{p}$ 中均可分。让 $\mathbf{F}_{4}$ 表示这样一个群。在本文中，我们以 Chenevier、Renard 和 Ta"ibi 的工作为精神，研究 $\mathbf{F}_{4}$ 的水平为 1 的自同型表示。首先，我们给出计算具有任意给定非压缩成分的这些表示个数的显式公式。为此，我们研究由 Gross 研究的秩为 27 且在 $\mathbb{Z}$ 上正定的两个异常 Jordan 代数 $\mathbf{F}_{4}$ 的自同构群，以及这些群在 $\mathbf{F}_{4}(\mathbb{R})$ 的所有不可约表示中的不变维数。然后，假设 $\mathbf{F}_{4}$ 上的 Arthur 和 Langlands 标准猜想，我们通过研究其全球 Arthur 参数可能的任何图像(或“Sato-Tate 群”)，对这一计数进行细化。这包括对所有这些图像的详细描述，以及在每种情况下对 Arthur 重数公式的精确陈述。作为结果，我们获得了一个关于 $\mathrm{GL}_{26}$ 上水平为 1 的代数、闭迹、自同型表示的予期但显式的计数公式，其 Sato-Tate 群为 $\mathbf{F}_{4}(\mathbb{R})$，且给定权重(假设“ $\mathrm{F}_{4}$ -regular”)。第一个此类表示的例子出现在动力学权重 36 中。