Cremona 群中的长度

Cremona 群是平面的双有理变换群。若存在一个线束被映为另一个线束，则该双有理变换称为 Jonquières 变换。根据著名的 Noether-Castelnuovo 定理，每个双有理变换 $f$ 都是 Jonquières 变换的乘积。此类乘积中因子的最小个数称为长度，记为 $\mathrm{lgth}(f)$。尽管该长度相当不可预测，我们提供了一个仅依赖于 $f$ 的线性系统重数的显式算法来计算它。作为该计算的一个应用，我们给出了 $f$ 的动态长度的若干性质，动态长度定义为序列 $n \mapsto \mathrm{lgth} (f^n) / n$ 的极限。例如，由此可得 Cremona 群的一个元素是扭曲的当且仅当它是代数的。长度的计算也可应用于与 Cremona 群相关联的所谓 Wright 复形：这最近已由 Lonjou 完成。此外，我们证明了长度限制在仿射平面的自同构群上是后者的经典长度（源自其融合结构的长度）。在另一个方向，我们计算了所有单项变换以及某些 Halphen 变换的长度和动态长度。最后，我们证明了在赋予 Zariski 拓扑的 Cremona 群上，长度是一个下半连续映射。