Farey 对上某些求和的 Legendre 对偶

每个不可约分数 $p/q>0$ 对应一个具有正坐标的本原向量 $(p,q)\in\mathbb Z^2$。这样的向量 $(p,q)$ 可以唯一地写成两个本原向量 $(a,b),(c,d)\in\mathbb Z_{\geq 0}^2$ 之和，这两个向量张成一个定向面积为 1 的平行四边形。我们给出了此类平行四边形集合上的新求和公式。这些公式显式依赖于 $a,b,c,d$，从而间接定义了对本原向量 $(p,q)=(a+c,b+d)$ 的求和。等价地，这些求和可被解释为在 Farey 对上进行的运算，即满足 $ad-bc=1$ 的分数对 $0\leq c/d<a/b\leq 1$。我们公式的输入是一个严格凹函数 $g$ 的图像。其项是由 $g$ 图像的切线构成的某些三角形的面积。对于不同的 $g$，这些公式中的若干个会给出涉及 $\pi$ 的值。当 $g$ 为抛物线时，我们恢复了经典的 Mordell-Tornheim 级数（也称为 Witten 级数）。作为一个很好的应用，我们还讨论了任意实数 $\alpha$ 的连分数公式，其中涉及连分数的系数以及渐近分数与 $\alpha$ 之间的差值。利用 Hata 的工作，我们证明了上述公式中的项是 $g$ 在某个 Schauder 基下的 Legendre 变换的系数，这使我们能够将公式解释为 Parseval 型恒等式。我们希望 Legendre 对偶能为 Hata 的方法提供新的视角。将上述求和公式中的项提升到 $s$ 次幂，我们得到一个函数 $F_g(s)$。我们证明，对于严格凹的 $g$，函数 $F_g(s)$ 在 $s>2/3$ 时收敛，而在 $s=2/3$ 时发散。