Barak-Erdős 有向随机图及相关模型中的末道渗流与极限定理

我们考虑有向随机图，其原型为 Barak-Erdős 图 $\vec G(\mathbb Z, p)$，并研究长（或重，若存在权重）路径的增长方式。这是通过将这些图与某些我们称之为无限箱模型（Infinite Bin Models, IBM）的粒子系统联系起来实现的。本文展示了一系列极限定理，旨在呈现该领域已使用的成果与技术。对于 $\vec G(\mathbb Z, p)$，我们详细研究了末道渗流常数 $C(p)$。结果表明，$C(p)$ 在 $p>0$ 时是解析的，在 $p=1$ 处具有有趣的渐近展开，且当 $p \to 0$ 时，$C(p)/p$ 以 $1/(\log p)^2$ 的方式收敛于 $e$。本文包括将 IBM 作为独立模型的研究，以及它们与带选择的连续或离散时间分支过程随机模型之间的联系。文中的若干证明是已发表证明的新版本或简化版本。在可能的情况下，我们使用了再生技术，展示了图在其上再生的随机顶点集。当边具有随机权重时，我们展示了末道渗流常数的行为以及中心极限定理何时存在。当底层顶点集是偏序集时，会出现新的现象，例如，与末道布朗渗流存在关系。我们还研究了可能取负值的权重，并详细研究了一些需要组合/图论技术的特殊情况，这些情况展示了末道渗流常数的一些有趣的非可微性质。我们还解释了如何通过完美模拟的方法来估计末道渗流常数。