关于传递竞赛图中最后通道渗流问题的极限常数

我们研究传递竞赛图上的最后通道渗流（last passage percolation）问题，其中边权为独立的伯努利随机变量。给定一个具有随机边权的 $n$ 个节点的传递竞赛图，最后通道渗流问题旨在寻找最重路径的权值 $X_n$，其中路径的权值为其各边权值之和。我们给出递推关系，并借此得到 $X_n$ 概率生成函数的（二元）生成函数。这也给出了 $\mathbb{E}[X_n]$ 的精确组合表达式，该问题由 Yuster [\emph{Disc. Appl. Math.}, 2017] 作为公开问题提出。我们进一步确定了 $X_n$ 极限律中的标度常数。定义 $\beta_{tr}(p) := \lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{E}[X_n]}{n-1}$。利用奇异性分析，我们证明 $$\beta_{tr}(p) = \left(\sum_{n\geq 1}(1-p)^{{n\choose 2}}\right)^{-1}.$$ 特别地，$\beta_{tr}(0.5) = \left(\sum_{n\geq 1} 2^{-{n\choose 2}}\right)^{-1} = 0.60914971106...$。这解决了由 Yuster 提出的确定 $\beta_{tr}(0.5)$ 值的问题。$\beta_{tr}(p)$ 也是 Foss、Martin 和 Schmidt [\emph{Ann. Appl. Probab.}, 2014] 给出的 $X_n$ 强大数定律中的极限值。我们还推导了 Foss 等人证明的 $X_n$ 泛函中心极限定理中的标度常数。