$\beta$-系综中的下偏差与最后 passage 渗流中的重对数律

对于具有指数 passage 时间的 $\mathbb{Z}^2$ 上的最后 passage 渗流（LPP），令 $T_{n}$ 表示从 $(1,1)$ 到 $(n,n)$ 的 passage 时间。我们研究序列 $\{T_{n}\}_{n\geq 1}$ 的重对数律；我们证明 $\liminf_{n\to \infty} \frac{T_{n}-4n}{n^{1/3}(\log \log n)^{1/3}}$ 几乎必然收敛到一个确定的负常数，并得到关于该量的若干估计。这解决了 Ledoux（J. Theor. Probab., 2018）的一个猜想，其中证明了相关的下界以及对应上尾的类似结果。我们的证明依赖于将视角从点到点 passage 时间略微转向考虑点到线 passage 时间，并利用后者与 Laguerre 正交系综（LOE）最大特征值的对应关系的视角转换。一个具有独立意义的关键技术要素是 $\beta$-Laguerre 系综最大特征值的下尾偏差概率的一个新下界，它推广了 Ledoux 与 Rider（Electron. J. Probab., 2010）在 $\beta$-Hermite 系综背景下证明的结果。