$\beta$-系综的最优尾估计及其在最后过境渗流中的应用

Hermite 和 Laguerre $\beta$-系综是随机矩阵理论中重要且被广泛研究的模型，其特例 $\beta=1,2,4$ 对应经典随机矩阵系综的特征值。众所周知，在适当的缩放下，这些系综的最大特征值弱收敛至 Tracy-Widom $\beta$ 分布，其分布函数 $F_{\beta}$ 的渐近性由 $1-F_{\beta}(x)=\exp\left(-\frac{2\beta}{3}(1+o(1))x^{3/2}\right)$（当 $x\to \infty$ 时）和 $F_{\beta}(x)=\exp\left(-\frac{\beta}{24}(1+o(1))|x|^3\right)$（当 $x\to -\infty$ 时）给出。尽管已经证明了极限前模型中具有正确指数的最大特征值尾估计，但对于一般的 $\beta$，尚未建立具有匹配常数的估计；即使在精确可解的情况下，某些界仍然缺失。在本文中，我们证明了具有匹配常数的双侧尾部的中偏差上下估计。我们通过考虑平面指数最后过境渗流（LPP）中的某些问题来说明这些估计的实用性，LPP 是 KPZ 普适类中被广泛研究的模型，其中某些统计量与 Laguerre $\beta$-系综（对于 $\beta=1,2,4$）的最大特征值具有相同的分布。将我们的估计与关于 LPP 几何的新旧结果相结合，我们得到了三个重对数律，其中一个解决了 Ledoux (J. Theor. Probab., 2018) 的猜想。我们期望这些精确的中偏差估计在 LPP 问题及其他领域找到更多进一步的应用。