Hyper-Kähler 流形的大半径极限与 SYZ 纤维化

本文建立了 Hyper-Kähler 流形的 Lagrangian 纤维化的存在性与大半径极限的存在性之间的关系。证明了若复维数 $2n\geq4$ 的 Hyper-Kähler 流形 N 的第二同调群的秩至少为 5，则映射类群 $\Gamma$(N) 中存在一个幂幺元素 T，其对第二上同调群的作用满足 $(T-id)^{2}\neq0$ 且 $(T-id)^{3}=0$。Verbitsky 的一个定理表明对称幂 $S^{n}(T)$ 作用于 $H^{2n}$ 且满足 $(S^{n}$ 与 $(S^{n}(T)-id)^{2n+1}=0$。这一事实确立了极化代数 Hyper-Kähler 流形大半径极限的存在性。利用消失圈理论证明了若 Hyper-Kähler 流形允许 Lagrangian 纤维化，则其第二同调群的秩大于等于五。还证明了 Hyper-Kähler 流形任意 Lagrangian 纤维化的纤维同调于作用于中间同调的极大幂幺元素的消失不变 $2n$ 圈。根据 Clemens，此消失不变圈可实现为环面。我猜想 SYZ 猜想蕴含固定维数的 Hyper-Kähler 流形拓扑型个数的有限性。