Laguerre 多项式与阶梯状初值下修正 Korteweg-de Vries 方程的过渡渐近性

我们考虑修正 Korteweg--de Vries 方程在背景常数 $c>0$（$x\to-\infty$ 时）与 $0$（$x\to+\infty$ 时）下的压缩波。我们研究解在过渡区 $4c^2t-\varepsilon t<x<4c^2t-\beta t^{\sigma}\ln t$（其中 $\varepsilon>0,$ $\sigma\in(0,1),$ $\beta>0$）中的渐近性。在该区域中我们有一团不消失的振荡，其数量随 $\frac{\varepsilon t}{\ln t}$ 增长。我们还展示了如何借助在相应 Riemann-Hilbert 问题中由 Laguerre 多项式构造的拟基本解，在区域 $4c^2t-\rho\ln t<x<4c^2t$ 中获得 Khruslov--Kotlyarov 渐近式。