非零背景下的修正Korteweg-de Vries方程孤子气

本文研究了由非零背景下的 $N$ 孤子解生成的聚焦修正Korteweg-de Vries方程的孤子气。谱孤子密度选在纯虚轴上，排除了分支割线 $\Sigma_{c}=\left[-i, i\right]$。在极限 $N\to\infty$ 下，我们建立了孤子气的Riemann-Hilbert问题。使用Deift-Zhou非线性最速下降法，该非零背景下的孤子气在 $x\to+\infty$ 时会衰减为常数背景，而其 $x\to-\infty$ 的渐近行为可以用一个附着于亏格为二的Riemann曲面上的Riemann-Theta函数表示。我们还分析了整个空间域上的大 $t$ 渐近行为，该空间域根据比值 $\xi=\frac{x}{t}$ 被划分为三个不同的渐近区域。使用类似的方法，我们给出了这三个区域的首项渐近行为，并展示了大 $t$ 渐近行为的动力学。