KdV 孤子气体中的孤子位置

Korteweg-De Vries (KdV) 方程是可积经典场的典范模型，具有孤子解。当许多孤子彼此靠近时，它们的形状会发生改变，且从 KdV 场中无法直接看出它们的位置。这是孤子气体分析中的一个关键问题，因为其主要研究对象——态密度——即为单位长度的孤子数。如何在宏观极限下定义有限密度下的孤子位置？一个合理的判据是：将介观区域之外的孤子投影出去后，该区域内的 KdV 场保持不变，且结果为支撑在该区域上的多孤子场。在涌现流体动力学中，这被称为流体元胞投影。本文解决了这一问题。我们定义了孤子位置和流体元胞投影，并证明其具有上述性质，且无需引入辐射修正。我们证明了守恒密度的弱极限可以使用态密度来计算。在大尺度上，孤子位置满足在广义流体动力学背景下引入的半经典 Bethe 方程，该方程考虑了两体散射位移并编码了因子化散射。一个非严格的推导再现了 KdV 孤子气体的动力学方程，该方程最初由 Gennady El 于 2003 年利用 Witham 调制理论从有限间隙解中提出。结果在谱参数的简单条件以及碰撞参数的某些物理自然条件下成立。不需要随机性。我们的证明基于多孤子 KdV 场的一个新 tau 函数，该函数还使我们能够获得多孤子支撑增长以及场及其导数上确界的新界限。我们相信这些方法可以推广到其他孤子模型。