稀疏形式幂级数与 Stern-Brocot 序列

设 $F(X) = \sum_{n \geq 0} (-1)^{\varepsilon_n} X^{-\lambda_n}$ 为一个实稀疏形式幂级数，其中 $\varepsilon_n = 0, 1$ 且 $\lambda_{n+1}/\lambda_n > 2$。已知其连分数展开的渐近分母 $Q_n(X)$ 是系数为 $0, \pm 1$ 的多项式，且 $Q_n(X)$ 中非零项的个数等于 Stern-Brocot 序列的第 $n$ 项。我们表明，将索引 $n$ 替换为任意 2-adic 整数 $\omega$ 是有意义的。我们证明了当且仅当 $\omega \in {\mathbb Z}$ 时，$Q_{\omega}(X)$ 是一个多项式。在所有其他情况下，$Q_{\omega}(X)$ 是一个无限形式幂级数，我们在 $\lambda_n = 2^{n+1} - 1$ 的特例中讨论了其代数性质。