实形式在单纯形上的展开及其应用

如果标准单纯形 $\Delta_n$ 中的 $n$ 个点 $B_1,\dots,B_n$ 仿射独立，则它们可以张成一个 $(n-1)$-单纯形，记为 $\Lambda=\text{Con}(B_1,\dots,B_n)$。此处 $\Lambda$ 对应一个 $n\times n$ 矩阵 $[\Lambda]$，其列为 $B_1,\dots,B_n$。本文首先证明了：如果直径足够小的 $\Lambda$ 包含一点 $P$，且对于 $\mathbb{R}[X]$ 中的形式 $f$ 有 $f(P)>0$（或 $<0$），则 $f([\Lambda] X)$ 的系数全为正（或全为负）。其次，作为该结果的应用，建立了一个充要条件，用于判定具有整数系数的齐次代数方程组在 $\Delta_n$ 上的实零点。