与 Grushin 算子相关的波动方程的 L^p 估计

令 G:=−((d/dx)^2+x^2(d/du)^2) 表示 R^2 上的 Grushin 算子。考虑 R×R^2 上关联波动方程的柯西问题 ((d/dt)^2+G)v=0，v(0,.)=f，d/dt v(0,.)=g，其中 t 表示时间，f 和 g 为合适的函数。本论文的重点在于固定时间 t 时解 v 关于初始数据的光滑性。光滑性可通过用微分算子 G 定义的 Sobolev 范数 |f|_{L^p}^α:=|(1+G)^{α/2}f|_{L^p} 来衡量。令 S_C 表示 R^2 中的带状区域 S_C:={(x,u)∈R^2, |x|≤C}。我们证明，对于 1≤p≤∞，若初始数据 f 和 g 为支撑在固定带状区域 S_C（C>0）上的 L^p 函数，且 α>|1/p−1/2| 成立，则解 v 属于 L_p^{−α}。事实上，我们证明对于任意 C>0，算子 exp(itG^{1/2})(1+G)^{−α/2} 对 Schwartz 函数有定义，可延拓为从 L^p(S_C) 到 L^p(R^2) 的有界算子，对所有 α>|1/p−1/2| 成立。