含对合的中央极限定理的$L^p$界

设 $E=((e_{ij}))_{n\times n}$ 是一个固定的实数组，满足 $e_{ij}=e_{ji}$, $e_{ii}=0$，其中 $1\le i,j \le n$。记置换群为 $S_n$，无不动点的对合集合为 $\Pi_n$，即 $\Pi_n=\{\pi\in S_n: \pi^2= id, \pi(i)\neq i\,\forall i\}$，其中 $id$ 表示恒等置换。对于从 $\Pi_n$ 中均匀选取的 $\pi$，令 $Y_E=\sum_{i=1}^n e_{i\pi(i)}$ 和 $W=(Y_E-\mu_E)/\sigma_E$，其中 $\mu_E=E(Y_E)$，$\sigma_E^2= Var(Y_E)$。记 $F_W$ 和 $\Phi$ 分别为 $W$ 和 $\mathcal{N}(0,1)$ 变量的分布函数，我们利用Stein方法和零偏差变换给出了 $||F_W-\Phi||_p$ 在 $1\le p\le \infty$ 范围内的界。对于 $\pi$ 从 $S_n$ 中均匀选取的经典问题，Bolthausen 利用Stein方法得到了最优的Berry-Esseen或 $L^\infty$ 界。尽管在我们的情形中 $\pi \in \Pi_n$ 是均匀的，但我们得到的 $L^p$ 界与 Bolthausen 对 $p=\infty$ 成立的界形式相似。由于对合限制，将 Bolthausen 方法从 $S_n$ 推广到 $\Pi_n$ 时遇到的困难通过使用零偏差变换得以解决。