R.S. Lehman 估计中差分的新界限：关于 $\pi\left( x\right) -li\left( x\right) $

我们采用 $\pi\left( x\right)$ 表示常用的素数计数函数，$li\left( x\right)$ 表示 $x$ 的对数积分。在 1966 年，R.S. Lehman 提出了一种新方法和有效的方法，用于寻找上界，从而保证在某个不高于该上界的值 $x$ 处，$\pi\left( x\right) -li\left( x\right)$ 出现符号变化。本文提供了进一步的误差项改进，包括对 Lehman 原文中著名的误差项 $S_{3}$ 的改进。我们现在能够完全消除尺度长度 $\eta$ 的下限条件。对于进一步的数值计算，这使我们能够在符号变化位置上建立更精确的结果。我们通过一些数值计算说明了在接近 $10^{316}$ 的最低已知交叉区域的情况，并讨论了该值以下的潜在交叉区域的数值情况。