假设黎曼猜想下素数定理误差的更精确界

在本文中，我们为经典的素数计数函数建立了新的界。我们所有的界都是显式的且假设黎曼猜想。首先，我们证明对于所有 $x\geq 101$ 和 $x \geq 2\,657$，$|\psi(x) - x|$ 和 $|\vartheta(x) - x|$ 分别被 $$\frac{\sqrt{x}\log{x}(\log{x} - \log\log{x})}{8\pi}$$ 从上方界定，其中 $\psi(x)$ 和 $\vartheta(x)$ 是切比雪夫 $\psi$ 和 $\vartheta$ 函数。利用这些结果提供的额外精度，我们还证明了 Mertens 各定理中误差的新显式描述，改进了 Schoenfeld 先前的界。