双线性 Hilbert 变换的一致有界性的完整范围

我们证明了双线性 Hilbert 变换族 $\mathrm{BHT}_{\beta} [f_1, f_2] (x) := \mathrm{p.v.} \int_{\mathbb{R}} f_1 (x - t) f_2 (x + \beta t) \frac{\mathrm{d} t}{t}$ 的一致 $L^{p}$ 有界性。我们表明，只要 $p_1 \in (1, \infty)$、$p_2 \in (1, \infty)$ 且 $p > \frac{2}{3}$，算子 $\mathrm{BHT}_{\beta}$ 就将 $L^{p_{1}}\times L^{p_{2}}$ 映射到 $L^{p}$，其界与 $\beta\in(0,1]$ 无关。这是包含 $\mathrm{BHT}_{\beta}$ 的调制不变类双线性算子能够一致有界的全部开放指数范围。这是通过证明频率-时间-尺度空间 $\mathbb{R}^{3}_{+}$ 的某些仿射变换在迭代外 Lebesgue 空间意义下的有界性来实现的。这给出了新的线性和双线性波包嵌入界，非常适合于研究一致有界性。