具有指数轻尾跳跃的 L\'evy 驱动扩散的首次退出时间

我们考虑由微分方程 $\dot{Y}_t=-U'(Y_t)$ 描述的动力系统，其在原点处具有唯一的稳定点。我们通过强度为 $\varepsilon$ 的 L\'evy 噪声扰动该系统，得到随机微分方程 $dX^{\varepsilon}_t=-U'(X^{\varepsilon}_{t-}) dt+\varepsilon dL_t.$ 过程 $L$ 是一个对称 L\'evy 过程，其跳跃测度 $\nu$ 具有指数轻尾，$\nu([u,\infty))\sim\exp(-u^{\alpha})$，$\alpha>0$，$u\to \infty$。我们研究了随机微分方程解的轨迹从区间 $(-1,1)$ 的首次退出问题。在小噪声极限 $\varepsilon\to0$ 下，首次退出时间 $\sigma_x$ ($x\in(-1,1)$) 的分布具有指数尾，且其均值在临界指数 $\alpha=1$ 处表现出有趣的相变，即对于 $0<\alpha<1$，有 $\ln\mathbf{E}\sigma\sim\varepsilon^{-\alpha}$，而对于 $\alpha>1$，有 $\ln\mathbf{E}\sigma\sim\varepsilon^{- 1}|\ln\varepsilon|^{1-{1}/{\alpha}}$。