$n$-拓扑空间的 Kuratowski 幺半群

推广 Kuratowski 于 1922 年提出的著名的 14 集合闭包-余集定理，我们证明对于赋予 $n$ 个两两可比较拓扑 $\tau_1\subset\dots\subset\tau_n$ 的集合 $X$，通过在拓扑 $\tau_1,\dots,\tau_n$ 中反复应用余集和闭包运算于子集 $A\subset X$，最多可以得到 $2K(n)=2\sum_{i,j=0}^n\binom{i+j}{i}\binom{i+j}{j}$ 个不同的集合。