局部代数中的Koszul同态与泛 resolutions

我们定义局部同态 $(Q,k)\to (R,\ell)$ 为 Koszul 的，如果它的导出纤维 $R \otimes^{\mathsf{L}}_Q k$ 是形式的，且 $\operatorname{Tor}^Q(R,k)$ 在经典意义下是 Koszul 的。当 $Q$ 是一个域时，这恢复了经典定义，且更一般地包含了 Koszul 代数的所有平坦形变。非平坦情形显著更有趣，且例子无需是二次的：所有完全交和所有 Golod 商环都是 Koszul 同态。我们证明 Koszul 同态类具有良好的同调性质，并给出更多例子，特别是各种单项与 Gorenstein 例子。然后我们从 resolution 上的 $\mathrm{A}_\infty$-结构视角研究 Koszul 同态。我们利用这一工具通过推广 Priddy 的一个经典构造，构建 $R$-模的泛自由 resolutions。所得 $R$-模 $M$ 的（无限）自由 resolution 通常是极小的，且当 $M$ 和 $R$ 在 $Q$ 上具有有限投射维数时可由有限数据描述。我们的构造同时恢复了 Shamash 和 Eisenbud 在完全交环上的 resolutions，以及 Iyengar 和 Burke 在 Golod 环上的 bar resolutions，并为各种其他局部环类生成了类似的 resolutions。