正特征下对称张量范畴中的Koszul对偶与PBW定理

我们将Koszul复形与Koszul代数（特别是对称代数与外代数之间的Koszul对偶）的理论推广到对称张量范畴。在特征 $p\ge 5$ 下，该理论展现出经典理论中未观察到的特殊效应。特别地，我们证明了Verlinde范畴 ${\rm Ver}_p$ 中一个不可逆单对象的对称代数与外代数几乎是Koszul的（尽管不是Koszul的），并展示了由此如何得到任意 $r,s\ge 2$ 的 $(r,s)$-Koszul代数的例子。我们还发展了对称张量范畴中李代数的理论。我们证明PBW定理在 ${\rm Ver}_p$ 中可能不成立，但如果假设一个称为 $p$-Jacobi恒等式的特定 $p$ 次恒等式，则该定理成立。该恒等式是正特征 $p\ge 5$ 下对特征2中李代数所需恒等式 $[x,x]=0$ 以及特征3中奇元李超代数所需恒等式 $[[x,x],x]=0$ 的推广。