素特征下对称张量范畴中的上同调

我们描述了特征为 $p$ 的域上的分次交换 Gorenstein 代数 ${\mathcal E}_n(p)$，并猜想 $\mathrm{Ext}^\bullet_{\mathsf{Ver}_{p^{n+1}}}(1,1)\cong{\mathcal E}_{n}(p)$，其中 $\mathsf{Ver}_{p^{n+1}}$ 是近期在 \cite{Benson/Etingof:2019a,Benson/Etingof/Ostrik,Coulembier} 中构造的新对称张量范畴。我们研究了这些代数的组合性质，以及与 Minc 分拆函数的关系，还有 Steenrod 运算对它们可能的作用。该猜想的证据包括针对小值 $n$ 的大量计算。我们也提供了一些理论证据。即，我们利用 Koszul 构造在 ${\mathcal E}_n(p)$ 中辨识出与 $\mathrm{Ext}^\bullet_{\mathsf{Ver}_{p^{n+1}}}(1,1)$ 中齐次参数系相同的齐次参数系。这些参数在 $p=2$ 时次数为 $2^i-1$，在 $p$ 为奇数时次数为 $2(p^i-1)$，其中 $1\le i \le n$。这至少表明 $\mathrm{Ext}^\bullet_{\mathsf{Ver}_{p^{n+1}}}(1,1)$ 是一个有限生成的分次交换代数，且具有与 ${\mathcal E}_n(p)$ 相同的 Krull 维数。对于 $p=2$，我们还证明了 $\mathrm{Ext}^\bullet_{\mathsf{Ver}_{2^{n+1}}}(1,1)$ 作为参量子代数上的模具有预期的秩 $2^{n(n-1)/2}$。