正特征下新的不可压缩对称张量范畴

我们提出一种在代数闭域$\bf k$上构造对称刚性幺半Karoubian范畴的阿贝尔包络的方法。若${\rm char}({\bf k})=p>0$，我们利用该方法构造arXiv:1807.05549中针对$p=2$以及Gelfand-Kazhdan与Georgiev-Mathieu针对$n=1$所定义的不可压缩阿贝尔对称张量范畴的推广${\rm Ver}_{p^n}$、${\rm Ver}_{p^n}^+$。即，${\rm Ver}_{p^n}$是$SL_2(\bf k)$的倾斜模范畴模去第$n$个Steinberg模所得商范畴的阿贝尔包络，而${\rm Ver}_{p^n}^+$是由$PGL_2(\bf k)$-模生成的其子范畴。我们证明${\rm Ver}_{p^n}$是特征零下Verlinde辫张量范畴到特征$p$的约化，这解释了该记号。我们详细研究了这些范畴的结构，特别地证明它们范畴化实数分圆环$\mathbb{Z}[2\cos(2\pi/p^n)]$，且${\rm Ver}_{p^n}$嵌入${\rm Ver}_{p^{n+1}}$。我们猜想，$\bf k$上每个中等增长的对称张量范畴都容许一个到嵌套序列${\rm Ver}_{p}\subset {\rm Ver}_{p^2}\subset\cdots$之并${\rm Ver}_{p^\infty}$的纤维函子。这将提供特征零下Deligne定理的类似物以及arXiv:1503.01492结果的推广，后者表明该猜想对融合范畴成立，且纤维函子进而落于${\rm Ver}_p$中。