边缘曲面的Kobayashi长度估计与阿贝尔变数上的广义积分点

设$B$为紧致黎曼曲面,$B_0\subset B$为通过去除有限个不相交闭圆盘得到的带边缘的双曲曲面。固定$B_0$中的一个非平凡环$\alpha$。对于$s\ge 0$,记$L(\alpha,s)$为所有有限子集$S\subset B_0\setminus \#S\le s$中,在$B_0\setminus S$中一条在$B_0中 freely homotopic 到$\alpha$的回路的最小Kobayashi长度的至多。Phung在[7]中证明了$L(\alpha,s)$最多线性增长,至少增长为$\sqrt{s}/\log s$。我们将上界尖锐为$O(\sqrt{s\log s})$,从而确定$\lim_{s\to\infty}\frac{\log L(\alpha,s)}{\log s}=\frac{1}{2}$,回答了[7, Question 1.4]中提出的问题。作为应用,我们改进了阿贝尔变数上广义积分点的计数估计:对于维数为$n$的阿贝尔变数,$\mathbb C(B)$上的,Phung证明了$(s,B_0)$-广义积分点模常数迹的个数至多为$s^{2nk}$,其中$k=\operatorname{rk}(\pi_1(B_0))$。我们将其尖锐为$s^{nk+\varepsilon}$for every$\varepsilon>0$,将指数减半。