阿贝尔簇上的广义整点问题与几何 Lang-Vojta 猜想

设 $A$ 为紧黎曼曲面 $B$ 的函数域 $K$ 上的阿贝尔簇。固定 $A/K$ 的一个模型 $f \colon \mathcal{A} \to B$ 以及 $\mathcal{A}$ 中一个有效的水平除子 $\mathcal{D} \subset \mathcal{A}$。我们研究 $\mathcal{A}$ 的 $(S, \mathcal{D})$-整截面 $\sigma$，其中 $S \subset B$ 任意。这些截面 $\sigma$ 是代数的，并满足几何条件 $f(\sigma(B) \cap \mathcal{D})\subset S$。借助 Parshin 的思想，我们构造了此类截面的双曲同伦高度以替代相交理论，从而建立关于 $(S, \mathcal{D})$-整点的大并集的有限性与多项式增长的新结果，其中仅要求 $S$ 为 $B$ 的某个稀薄解析开子集中的有限集。此类结果纯代数方法无法触及，并为几何 Lang-Vojta 猜想提供了新的证据与有趣的现象。