具有阿贝尔亏群块的 Loewy 长度

我们考虑具有阿贝尔亏群的 $p$-块，并在第一部分证明了其 Loewy 长度与指数为 $p$ 的正规子群的块之 Loewy 长度之间的关系。利用此关系，我们证明：如果 $B$ 是一个有限群的 $2$-块，其阿贝尔亏群为 $D \cong C_{2^{a_1}} \times \cdots \times C_{2^{a_r}} \times (C_2)^s$，其中对所有 $i$ 有 $a_i > 1$ 且 $r \geq 0$，则 $d < LL(B) \leq 2^{a_1}+\cdots+2^{a_r}+2s-r+1$，其中 $|D|=2^d$。当 $s=1$ 时，上界可改进为 $2^{a_1}+\cdots+2^{a_r}+2-r$。综合这些结果，给出了 $D$ 的每一种同构类型的精确上界。由此可得，当 $D$ 是阿贝尔 $2$-群时，除 $D$ 是克莱因四元群且 $B$ Morita 等价于 $A_5$ 的主块之外，其 Loewy 长度的上界为 $|D|$。我们猜想对于任意素数都有类似的界，并给出了其对于主 $3$-块成立的证据。