低斜率曲面的Albanese纤维化

设$S$是极小非正则一般型曲面，其Albanese映射诱导一个亏格为$g$的纤维化$f: S \to C$。我们证明了如果$K_S^2\leq 4\chi(\mathcal{O}_S)$，则亏格$g$有一个线性上界。构造的例子表明上述线性上界是紧的。当$\chi(\mathcal{O}_S)\geq 5$时，我们给出了达到上述上界的Albanese纤维化的刻画。另一方面，我们将构造一个一般型曲面序列$S_n$，满足$K_{S_n}^2/\chi(\mathcal{O}_{S_n})>4$且具有Albanese纤维化$f_n$，使得$f_n$的一般纤维的亏格$g_n$随$\chi(\mathcal{O}_{S_n})$二次增长，并且$K_{S_n}^2/\chi(\mathcal{O}_{S_n})$可以任意接近4。