Kobayashi-Oshima 一致有界重数定理的一个推广

设 $P$ 为实约化李群 $G$ 的极小抛物子群，$H$ 为 $G$ 的闭子群。T. Kobayashi 与 T. Oshima 证明了：若 $G/P$ 上 $H$-轨道数为有限，则正则表示 $C^{\infty}(G/H)$ 中每个 $G$ 的不可约表示出现至多有限次。此外，他们还证明了：若 $G_{\mathbb C}/B$ 上 $H_{\mathbb C}$-轨道数为有限（其中 $G_{\mathbb C}, H_{\mathbb C}$ 分别为 $G, H$ 的复化，$B$ 为 $G_{\mathbb C}$ 的 Borel 子群），则重数一致有界。本文中，我们证明：若 $G_{\mathbb C}/Q_{\mathbb C}$ 上 $H_{\mathbb C}$-轨道数为有限，则由抛物子群 $Q$ 诱导的 $G$ 的表示在 $G/H$ 上的正则表示中的重数一致有界。为证明该断言，我们还利用完整 ${\mathcal D}_{X}$-模理论证明了群不变超函数空间维数的一致有界性。