Jordan群、二次曲线丛与阿贝尔簇

群 $G$ 称为 Jordan 群，如果存在正整数 $J=J_G$ 使得 $G$ 的每个有限子群 $\mathcal{B}$ 包含一个交换子群 $\mathcal{A}\subset \mathcal{B}$，且 $\mathcal{A}$ 在 $\mathcal{B}$ 中正规，指数 $[\mathcal{B}:\mathcal{A}] \le J$ (V.L. Popov)。本文研究在特征零的代数闭域上不可约光滑射影簇 $X$ 的双有理自同构群 $Bir(X)$ 的 Jordan 性质。已知 (Yu. Prokhorov - C. Shramov) 若 $X$ 非泛有理的，则 $Bir(X)$ 是 Jordan 群。另一方面，第二作者证明若 $X$ 双有理等价于射影直线与正维阿贝尔簇的乘积，则 $Bir(X)$ 不是 Jordan 群。我们证明若（泛有理的）$X$ 是非泛有理簇 $Y$ 上的二次曲线丛，但不双有理等价于 $Y$ 与射影直线的乘积，则 $Bir(X)$ 是 Jordan 群。（这样的二次曲线丛仅当 $\dim(Y)\ge 2$ 时存在。）当 $Y$ 为阿贝尔曲面时，此 Jordan 性质结果回答了 Prokhorov 和 Shramov 的一个问题。