联合谱半径、Sturmian测度与有限性猜想

一对2×2实矩阵$(A_0,A_1)\in M_2(\mathbb{R})^2$的联合谱半径定义为$r(A_0,A_1)= \limsup_{n\to\infty} \max \{\|A_{i_1}...A_{i_n}\|^{1/n}: i_j\in\{0,1\}\}$，即这些矩阵乘积范数的最优增长率。Lagarias-Wang有限性猜想断言$r(A_0,A_1)$总是某个长度为n的乘积$A_{i_1}...A_{i_n}$的谱半径的n次根，该猜想已被Bousch & Mairesse反驳，随后Blondel、Theys & Vladimirov、Kozyakin、Hare、Morris、Sidorov & Theys给出了反例。本文引入一种生成有限性反例的新方法，并借此展示$M_2(\mathbb{R})^2$的一个开子集，其性质为子集中的每个成员$(A_0,A_1)$都生成形式为$(A_0, tA_1)$的不可数多个反例。我们的方法运用遍历理论，特别是Sturmian不变测度的分析；该方法允许简短证明参数$t$与Sturmian参数$P(t)$之间的关系是一个魔鬼阶梯。