标量场论的 jet 丛几何

对于标量场论,例如描述希格斯玻色子的那些有效场论(EFT),众所周知其二阶导数拉格朗日量可由几何刻画。也就是说,恰好含 2 个导数的算符集合,可通过将场空间流形 $M$ 上的度规拉回到时空 $\Sigma$ 而得到。本文将上述标量场论的几何理解推广到高(及低)阶导数拉格朗日量。我们展示了如何通过从(大致)与从 $\Sigma$ 到 $M$ 的映射相关联的 1-jet 丛将度规拉回到 $\Sigma$,由几何得到含至多 4 个导数的整个 EFT 拉格朗日量。更确切地说,我们的出发点是将场空间 $M$ 替换为纤维丛 $\pi:E \to \Sigma$(纤维为 $M$),其中标量场 $\phi$ 是一个局部截面。我们先讨论该丛形式体系中的对称性与场重定义,再展示一切如何被“延拓”到 1-jet 丛 $J^1 E$;作为一个流形,$J^1 E$ 是在每个时空点上方零阶与一阶导数一致的截面 $\phi$ 的空间。在 $J^1 E$ 上装备了(时空与内部)对称性的概念后,其思想是:人们可以本着有效场论研究者的精神,写出与对称性相容的 $J^1 E$ 上最一般的度规,并将其拉回到时空以构造不变拉格朗日量;由于 $J^1 E$ 具有“导数坐标”,人们自然由此几何得到含多于 2 个导数的算符。我们将此形式体系应用于若干例子,包括 4 维单个实标量以及描述希格斯 EFT 的具有 $O(4)$ 对称性的四个实标量。我们展示了如何以这种方式由 jet 丛几何得到 0、2 和 4 阶导数算符的整个非冗余基。最后,我们研究了其与振幅的联系以及几何不变量的作用。