四维空间中的二阶双标量张量场方程

本文在四维空间中研究了作为两个标量场、伪黎曼度量张量及其任意阶导数的伴随量的拉格朗日标量密度。我构造了可从这种拉格朗日量导出的最一般的二阶欧拉-拉格朗日张量密度。证明了所有此类二阶欧拉-拉格朗日张量密度均可从一组至多为二阶的十一个拉格朗日量导出。在这十一个拉格朗日量中，有六个不涉及度量张量的二阶导数，并且在标量场的二阶导数上代数上至多为一阶。这十一个拉格朗日量中的每一个都有一个标量系数，该系数是五个变量的伴随量：两个标量场，以及这两个标量场梯度的三个内积。在这十一个系数函数中，只有一个是任意的，而其他十个必须满足线性偏微分方程。令人惊讶的是，这些偏微分方程与 2+1 维闵可夫斯基空间中的波动方程有关。本文最后对在任意维空间中产生最一般二阶多标量张量场方程的拉格朗日量可能采取的形式进行了一些观察。