对数联络的等单值变形与稳定性

设 $X_0$ 是一个亏格为 $g$ 的紧连通黎曼面，其上有有序子集 $D_0\subset X_0$ 基数为 $n$，并设 $E_G$ 是 $X_0$ 上的一个全纯主 $G$-丛，其中 $G$ 是一个复约化仿射代数群，且 $E_G$ 容许一个以 $D_0$ 为极除子的对数联络 $\nabla_0$。设 $(\cal{E}_G, \nabla)$ 是 $(E_G,\nabla_0)$ 在泛 Teichm\"uller 曲线 $(\cal{X}, \cal{D})\rightarrow {Teich}_{g,n}$ 上的泛等单值变形，其中 ${Teich}_{g,n}$ 是带 $n$ 个标记点的亏格 $g$ 黎曼面的 Teichm\"uller 空间。我们证明如下：假设 $g>1$ 且 $n=0$。则存在一个闭复解析子集 $\cal{Y} \subset {Teich}_{(g,n)}$，其余维数至少为 $g$，使得对任意 $t\in {Teich}_{(g,n)} \setminus \mathcal{Y}$，主 $G$-丛 $\cal{E}_G\vert_{{\cal X}_t}$ 是半稳定的，其中 ${\cal X}_t$ 是 $t$ 上的紧黎曼面。假设 $g>0$，且若 $g=1$ 则 $n>0$。同时假设 $\nabla_0$ 的单值表示不通过 $G$ 的某个真抛物子群分解。则存在一个闭复解析子集 $\cal{Y}' \subset {Teich}_{(g,n)}$，其余维数至少为 $g$，使得对任意 $t\in {Teich}_{(g,n)} \setminus \cal{Y}'$，主 $G$-丛 $\cal{E}_G\vert_{{\cal X}_t}$ 是半稳定的。假设 $g>1$。假设 $\nabla_0$ 的单值表示不通过 $G$ 的某个真抛物子群分解。则存在一个闭复解析子集 $\cal{Y}" \subset {Teich}_{(g,n)}$，其余维数至少为 $g-1$，使得对任意 $t\in {Teich}_{(g,n)} \setminus \cal{Y}'$，主 $G$-丛 $\cal{E}_G\vert_{{\cal X}_t}$ 是稳定的。