有理微分系统的等单值形变与拓扑递归重构：$\mathfrak{sl}_2$ 情形

在本文中，我们表明总可以通过引入一个小形式参数 $\hbar$ 来形变微分方程 $\partial_x \Psi(x) = L(x) \Psi(x)$（其中 $L(x) \in \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})(x)$），使其满足 Bergère、Borot 与 Eynard 的拓扑型性质。这是通过将原微分方程纳入一个等单值系统并利用某些齐性条件引入 $\hbar$ 而得到的。随后证明拓扑递归给出了相应 tau 函数的形式级数展开，其系数因而可用 Deligne-Mumford 曲面模空间紧化中 tautological 类的交来表示。我们给出若干例子，包括任意 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})(x)$ 的 Fuchs 系统以及 Painlevé 层级的某些元素。