加权偏序集度量的等距映射与 MacWilliams 扩张性质

设 $\mathbf{H}$ 为环 $S$ 上左模族在有限集 $\Omega$ 索引下的笛卡尔积。我们关注 $\mathbf{H}$ 上的 $(\mathbf{P},\omega)$-权，其中 $\mathbf{P}=(\Omega,\preccurlyeq_{\mathbf{P}})$ 为偏序集，$\omega:\Omega\longrightarrow\mathbb{R}^{+}$ 为权函数。我们刻画了 $\mathbf{H}$ 的 $(\mathbf{P},\omega)$-权等距群，并给出了当 $\mathbf{P}$ 为分层时 $\mathbf{H}$ 中半单子码的典范分解。随后我们研究 $(\mathbf{P},\omega)$-权的 MacWilliams 扩张性质（MEP）。我们证明 MEP 蕴含 $(\mathbf{P},\omega)$ 的唯一分解性质（UDP），而当 $\omega$ 恒为 $1$ 时进一步蕴含 $\mathbf{P}$ 为分层。对于 $\mathbf{P}$ 为分层或 $\omega$ 恒为 $1$ 的情形，我们证明 $(\mathbf{P},\omega)$-权的 MEP 可用 Hamming 权的 MEP 来刻画，并给出当 $S$ 为阿廷单环（有限或无限）时 $\mathbf{H}$ 满足 $(\mathbf{P},\omega)$-权 MEP 的充要条件。当 $S$ 为有限域时，在 $(\mathbf{P},\omega)$-权背景下，我们将 MEP 与包括 MacWilliams 恒等式、分拆的 Fourier-自反性及 UDP 在内的其他编码理论性质比较，并表明 MEP 严格强于其余所有性质。