求解多参数特征值问题的纤维积同伦方法

我们开发了一种用于求解多参数特征值问题（MEPs）的新同伦方法，称为纤维积同伦方法。对于一个矩阵大小为 $n_1,\dots ,n_k = O(n)$ 的 $k$ 参数特征值问题，纤维积同伦方法只需变形 $O(1)$ 个线性方程，而现有的 MEP 同伦方法需要 $O(n)$ 个非线性方程。我们证明纤维积同伦方法在概率一的意义下能找到 MEP 的所有特征对。它特别适用于维数亏缺奇异 MEP，这是所有其他现有方法的弱点，因为纤维积同伦方法对此类问题也被证明以概率一收敛，数值实验证实了这一事实。更一般地，我们的数值实验表明，纤维积同伦方法在精度上显著优于标准 Delta 方法，即使对于维数亏缺奇异问题，其向后误差也稳定保持在 $10^{-16}$ 量级，且无需使用扩展精度。在速度方面，它在所有问题上都显著优于先前的基于同伦的方法，并在较大问题上优于 Delta 方法，且高度可并行化。我们表明，我们在纤维积同伦方法中求解的纤维积 MEP 虽然数学上等价于标准 MEP，但通常是一个条件好得多的命题。