共振图作为有限分配格的等距嵌入

设 $G$ 为平面二分图，$\mathcal{M}(G)$ 为 $G$ 中所有完美匹配的集合。共振图 $R(G)$ 是一个图，其顶点集合为 $\mathcal{M}(G)$，两个完美匹配在 $R(G)$ 中相邻当且仅当它们的对称差构成 $G$ 一个有限面孔周围的循环。已知，任何连通的共振图都可以等距嵌入为超立方体中的有限分配格。连通的 $R(G)$ 的等距维数记为 $\mathrm{idim}(R(G))$，为 $R(G)$ 可以等距嵌入的最小超立方体维数。设 $d$ 为 $G$ 中没有禁用边在其周围的有限面孔数量。我们证明，任何连通的 $R(G)$ 都有 $\mathrm{idim}(R(G)) \ge d$，并给出等式何时成立的判据。此外，如果连通的 $R(G)$ 具有 $\mathrm{idim}(R(G)) = d$，则我们设计一种算法为 $G$ 的所有完美匹配生成长度为 $d$ 的二进制编码，从而在不生成 $\mathcal{M}(G)$ 的情况下将 $R(G)$ 等距嵌入为 $d$ 维超立方体中的有限分配格。我们的结果为 [\textit{SIAM J. Discrete Math.} {\bf 22} (2008) 971--984.] 中提出的两个开放问题提供了基本案例的答案。