超特殊阿贝尔簇的同源图与布兰特矩阵
数论
2025-11-26 v6 代数几何
摘要
固定素数 p 和 ℓ 且 ℓ≠p。若 (A,λ) 是一个 g 维主极化阿贝尔簇，则 (A,λ) 的 (ℓ)^g-同源的核是 A 的 ℓ-挠率的最大各向同性子群；其像具有自然的主极化。我们定义三种与此类 (ℓ)^g-同源相关的同源图——大同源图 Gr_g(ℓ,p)、小同源图 gr_g(ℓ,p) 和增强同源图 widetilde{gr}_g(ℓ,p)。我们证明所有三种同源图都是连通的。证明的一个要素是四元数酉群强逼近，此前 Chai、Ekedahl/Oort 和 Chai/Oort 已将其应用于特征 p 下的阿贝尔簇模。三种同源图的邻接矩阵由 Hashimoto、Ibukiyama、Ihara 和 Shimizu 定义的布兰特矩阵给出。我们研究这些布兰特矩阵的一些基本性质，并利用布兰特图的概念重述该理论。我们证明同源图 Gr_g(ℓ,p) 和 gr_g(ℓ,p) 实际上正是我们的布兰特图。我们给出 gr_g(ℓ,p) 和 widetilde{gr}_g(ℓ,p) 的 ℓ-进一致化。超奇异椭圆曲线的 (ℓ+1)-正则同源图 Gr_1(ℓ,p) 已知为拉马努金图。我们计算了一定范围内 g>1、ℓ 和 p 的布兰特矩阵。这些计算给出了四个 g>1 的示例，其中正则图 Gr_g(ℓ,p) 有两个顶点且为拉马努金图，而我们计算的所有其他 g>1 且具两个或更多顶点的示例均非拉马努金图。特别地，(ℓ)^g-同源图在 g>1 时一般不是拉马努金图。
引用
@article{arxiv.2005.09031,
title = {Isogeny graphs of superspecial abelian varieties and Brandt matrices},
author = {Bruce W. Jordan and Yevgeny Zaytman},
journal= {arXiv preprint arXiv:2005.09031},
year = {2025}
}