超特殊阿贝尔簇的同构复形

我们考虑由未必为主极化的阿贝尔簇的同构（isogeny）所构成的结构，具体而言采用我们先前定义的 $[\ell]$-极化。我们的主要兴趣在于超特殊阿贝尔簇，其中的同构与四元数厄米形式相关。我们首先考虑同构图。我们证明这些 $[\ell]$-同构图是广义 Brandt 图，并完全用定四元数代数构造它们。我们证明它们是连通的，并给出例子表明所得到的正则图有时是 Ramanujan 图，有时不是。 $[\ell]$-极化阿贝尔簇的同构在复合下可封闭，其结果是此类同构自然形成 Eilenberg 与 Zilber 于 1950 年引入的半单纯复形（后来也称为 $\Delta$-复形）——即多重图的高维类比。我们证明这些同构复形可由定四元数代数上厄米形式的算术构造，并且它们是辛群的 Bruhat-Tits 建筑在四元数酉群作用下的商。借助四元数，这些同构图与复形便于机器计算，我们包含了许多例子，最后详细考察了特征为 $7$ 的超特殊阿贝尔曲面的 $[2]$-同构复形。