具有实Weil数的极化超特殊简单阿贝尔曲面

设 $q$ 为素数 $p\in \mathbb{N}$ 的奇次幂，$\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ 为在 $\mathbb{F}_q$ 上对应于实Weil $q$-数 $\pm \sqrt{q}$ 的简单同源类中的主极化超特殊阿贝尔曲面的同构类有限集。我们给出以下类型的 $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ 的显式公式：(i) 类数公式，即 $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ 的基数；(ii) 型数公式，即 $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ 的底层阿贝尔曲面的自同态环至同构的个数。对该同源类中根据极化模分组的其他极化超特殊成员集合也得到了类似公式。我们观察到若干令人惊讶的恒等式，一方面涉及某些Hilbert模曲面的算术亏格，另一方面涉及该同源类中 $(P, P_+)$-极化超特殊阿贝尔曲面的类数或型数。