杨-巴克斯特方程的对合拉丁解

Wolfgang Rump 证明了杨-巴克斯特方程的非退化对合集合论解与一类二元代数之间存在一一对应,该类代数中所有左平移 $L_x$ 均为双射、平方映射为双射,且恒等式 $(xy)(xz) = (yx)(yz)$ 成立。我们类比于另一类给出杨-巴克斯特方程解的二元代数 quandles,称这些代数为 \emph{rumples}。我们聚焦于拉丁 rumples,即所有右平移亦为双射的 rumples。我们证明:当且仅当 $n=p_1^{p_1 k_1}\cdots p_m^{p_m k_m}$(其中 $p_i$ 为互异素数、$k_i$ 为正整数)时,存在阶为 $n$ 的仿射拉丁 rumple。由满足 $[A,B]=A^2$ 的非奇异近循环矩阵 $A$、$B$ 得到一大类仿射解。我们将仿射拉丁 rumples 刻画为:其由 $L_x L_y\inv$ 生成的位移群在由所有平移生成的群中交换且正规的拉丁 rumples。我们充分发展了 rumples 的扩张理论,以获得非仿射、甚至不同构于群的拉丁 rumple 实例。最后,我们研究同时满足对偶恒等式 $(zx)(yx) = (zy)(xy)$ 的拉丁 rumples,并证明(除其他结果外)其位移群的生成元 $L_x L_y\inv$ 的阶整除四。