关于量子Yang-Baxter方程的集合论解

最近V.Drinfeld在量子群理论中提出了一系列问题。特别地，他建议考虑量子Yang-Baxter方程的“集合论”解，即由集合 $X\times X$ 的置换 $R$ 给出的解，其中 $X$ 是一个固定的有限集合。在本文中，我们研究满足幺正性和交叉对称性条件（物理应用中出现的自然条件）的此类解。更具体地说，我们考虑“线性”解：集合 $X$ 是一个阿贝尔群，映射 $R$ 是 $X\times X$ 的自同构。我们证明在这种情况下，解与对 $a,b\in \End X$ 一一对应，其中 $b$ 可逆且 $bab^{-1}=\frac{a}{a+1}$。随后我们考虑“仿射”解（$R$ 是 $X\times X$ 作为主齐性空间的自同构），并证明它们具有类似的分类。这些分类如此简洁的事实使我们相信，这个问题背后可能隐藏着一些有趣的结构。