杨-巴克斯特方程集合论解的组合方法

若 $X = \{x_1, ..., x_n \}$ 为有限集，双射 $r: X^2 \longrightarrow X^2$ 称为\emph{杨-巴克斯特方程（YBE）的集合论解}，如果在 $X^3$ 中成立辫关系 $r_{12}r_{23}r_{12} = r_{23}r_{12}r_{23}$。满足对所有 $x \in X$ 有 $r(xx)=xx$ 的非退化对合解 $(X,r)$ 称为\emph{无平方解}。如与 Michel Van den Bergh 的联名论文中首次所示，YBE 的无平方集合论解、I 型半群、斜多项式型半群与 Bieberbach 群之间存在紧密关系。本文继续研究无平方解 $(X,r)$ 及相关的杨-巴克斯特代数结构——由 $X$ 生成、具有由 $r$ 自然产生并唯一确定的二次定义关系的域 $k$ 上的半群 $S(X,r)$、群 $G(X,r)$ 与 $k$-代数 $A(k, X,r)$。我们研究相关杨-巴克斯特结构的性质，并证明本文作者此前的一个猜想：无平方（集合论）YBE 解、I 型半群与斜多项式型半群这三个概念等价。这意味着杨-巴克斯特代数 $A(k, X,r)$ 关于 $X$ 的某个适当排序是 Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt 型代数。我们猜想每个无平方 YBE 解都是可收缩的，在 Etingof-Schedler 的意义下。