Yang-Baxter 方程的集合论解、Braces 与对称群

我们同时运用群的匹配对理论和 braces 理论来研究 Yang-Baxter 方程（YBE）的集合论解。我们展示了对称群（一个辫化对合群）与左 brace 概念之间的密切关系，并得到了关于有限多重置换级对称群及其对应 braces 的新结果。我们引入了对称群 $(G,r)$ 的一个新不变量，即 $G$ 的导出理想链，它给出了关于 $G$ 的收缩递归过程的精确信息。我们证明，每个有限多重置换级 $m$ 的对称群 $(G,r)$ 都是一个可解群，且其可解长度至多为 $m$。对于 YBE 的每个集合论解 $(X,r)$，我们关联两个不变的对称群序列：(i) 其导出对称群序列；(ii) 其导出置换群序列，并探索这些序列以显式描述收缩递归过程。我们找到了判断 $(X, r)$ 是否为多重置换解的新的充要准则。