来自图构型的链环与三维流形不变量

在这本自足的著作中，我们遵循 Edward Witten、Maxim Kontsevich、Greg Kuperberg 和 Dylan Thurston 的工作，定义有理同调三维球中有框链环的一个不变量 Z，并研究其性质。该不变量 Z 常被称为 Chern-Simons 理论的微扰展开，取值于由 Jacobi 图生成的分次空间。它在某种本书所解释的意义下，通过对构型空间的积分，或以对偶方式利用同一构型空间中的代数相交，来计数此类单三价图在背景流形中的嵌入。当背景流形为标准三维球时，不变量 Z 是许多作者（包括 Guadagnini、Martellini 和 Mintchev、Bar-Natan、Bott 和 Taubes、Altschüler 和 Freidel、Thurston 和 Poirier 等）研究过的普适 Vassiliev 链环不变量。本书给出了该不变量更具灵活性的定义。我们将 Z 扩展为有理同调圆柱中有框缠结范畴上的一个函子，并描述该函子在包括某些编织操作在内的各种操作下的行为。我们还针对与主型有限型不变量理论相关的离散导数，计算了扩展不变量的迭代导数。结合 Massuyeau 和 Moussard 的近期结果，我们的计算表明 Z 限制到有理同调三维球（配备空链环）上所含信息与这些流形的 Le-Murakami-Ohtsuki LMO 不变量相同。它们还表明 Z 的一次部分即为 Casson-Walker 不变量。