由 F. Klein 量化的 Poincaré 双八面体 3 流形的不变算子

构成 Poincaré 双八面体 3 流形 $M$ 本征模态的本征态被构造为 novel 不变算子的本征态。$M$ 的拓扑结构由其基本群 $\pi_1(M)$（由 $M$ 上的闭合曲线组成）以及作用于其普适覆盖 $\tilde{M}$ 上的同构群 $deck(\tilde{M})$ 所描述。($\pi_1(M)$, $\tilde{M}$) 已知分别为二进制二十面体群 ${\cal H}_3$ 和球面 $S^3$。将 $S^3$ 视为 $SU(2,C)$ 的群流形，证明 $deck(\tilde{M}) \sim {\cal H}^r_3$ 通过右乘法作用在 $SU(2,C)$ 上。从 ${\cal H}^r_3$ 作为正规子群和提供 $M$ 二十面体对称性的第二个群 ${\cal H}^c_3$ 构造出半直积群。基于 F. Klein 的基本不变 ${\cal H}_3$，我们构造出 novel 厄米 ${\cal H}_3$ 不变多项式（广义 Casimir）算子 ${\cal K}$。其本征态及其特征值 $\kappa$ 量化了 Poincaré 双八面体 3 流形上完整正交基的量子化。最低次数 $\lambda=12$ 的本征态为 12 个 Klein 不变多项式的伴随体。该分析在宇宙拓扑学 \cite{LA},\cite{LE} 中具有应用价值。如果将 Poincaré 3 流形 $M$ 假设为宇宙空间部分的模型，则观测到的宇宙微波背景温度涨落必须容纳于 ${\cal K}$ 的本征态展开中。