相对群同调中的双曲 3-流形不变量

设 $M$ 为一个有限体积的完备定向双曲 $3$-流形。利用子群族的分类空间，我们在 Adamson 相对同调群 $H_3([PSL_2(\mathbb{C}):\bar{P}];\mathbb{Z})$ 中构造了一个类 $\beta_P(M)$，其中 $\bar{P}$ 是黎曼球面上固定 $\infty$ 的抛物变换子群。我们还证明了由 Zickert 构造的 Takasu 相对同调群 $H_3(PSL_2(\mathbb{C}),\bar{P};\mathbb{Z})$ 中的类 $F(M)$（这些类定义不良且依赖于水平球装饰的选择）均通过规范比较同态 $H_3(PSL_2(\mathbb{C}),\bar{P};\mathbb{Z})\to H_3([PSL_2(\mathbb{C}):\bar{P}];\mathbb{Z})$ 映射到 $\beta_P(M)$。为此，我们利用一个计算 $H_3(PSL_2(\mathbb{C}),\bar{P};\mathbb{Z})$ 的更简单复形简化了类 $F(M)$ 的构造，得到了 $F(M)$ 的单纯公式，进而给出了比 Zickert 给出的公式更简单且更有效的体积和 Chern--Simons 不变量计算公式。这些构造可推广至任意边界抛物 $PSL_2(\mathbb{C})$ 表示。